EFEKTIFITAS PEMBELAJARAN PROGRAM LINEAR MENGGUNAKAN PERANGKAT LUNAK GEOGEBRA BAGI SEKOLAH MENENGAH

 

EFEKTIFITAS PEMBELAJARAN PROGRAM LINEAR MENGGUNAKAN PERANGKAT LUNAK GEOGEBRA BAGI SEKOLAH MENENGAH

Sarmulia Sinaga,ST.,MT.

Widyaiswara Ahli Madya BBPPMPV BBL Medan

 

Pendahuluan

Seiring dengan era milenial yang ditandai dengan lompatan perkembangan teknologi yang begitu cepat, sehinga akan terjadi penyesuaian pemahaman antar generasi pendahulu ke generasi berikutnya. Generasi sebelumnya dalam hal ini guru dengan insting manualnya, serta berinteraksi dengan generasi milenial/peserta didik atau generasi “jaman now” atau ada yang menyebut “ generasi Z” dengan insting ITnya, pastilah akan menemui titik buntu jika tidak saling menyesuaikan diri. Oleh karena itu, pembelajaran dengan bantuan komputer sangat baik untuk diintegrasikan dalam pembelajaran, khususnya dalam hal ini konsep-konsep pembelajaran matematika dalah materi pembelajaran “Program Linier”. Hal ini bukan lagi sebagai tuntutan bagi para guru, namun sudah bergeser menjadi kewajiban dan keharusan, jika guru tersebut tidak mau disebut buta hurup tingkat kedua..

Berbagai program komputer telah dikembangkan dan dapat digunakan dalam pembelajaran matematika, salah satunya yaitu GeoGebra . GeoGebra  adalah sebuah perangkat lunak yang dapat menvisualisasikan objek-objek matematika secara cepat,akurat,danefisien. GeoGebra  merupakan salah satu software bantu yang cukup lengkap dan digunakan secara luas. Nama GeoGebra  merupakan singkatan  dari geometry(geometri) dan algebra(aljabar). Meski dari sisi nama hanya merujuk geometri dan aljabar aplikasi ini tidak hanya mendukung untuk kedua topik tersebut, tapi juga mendukung banyak topik matematika diluar keduanya.  

GeoGebra  pertama kali dikembangkan oleh Markus Hohenwarter dari Austria dan dirilis sebagai perangkat lunak opensource sehingga dapat dimanfaatkan secara gratis dan bebas untuk dikembangkan, dan hal ini yang menjadi alasan penulis untuk menggunakannya. Banyak program perangkat lunak lainnya yang sejenis dan digunakan pada pembelajaran matematika, antara lain : Cabri II Plus, Wolfrom Mathematica. Maple,  Matlab, Adobe Flash, Microsoft Mathematics, Graphmatica, Casyopee, Algebator, iMindMap, Autograph, Lindo   dan GeoGebra . Tentunya masih ada beberapa lagi program atau perangkat lunak lainnya yang secara spesifik digunakan pada pembelajaran Matematika, namun yang secara umum digunakan adalah program tersebut di atas.

Seperti telah disebutkan di atas, GeoGebra  dikembangkan oleh Markus Hohanwarter pada tahun 2001. Ia adalah seorang matematikawan Austria dan profesor di Universitas Johannes Kepler (JKU) Linz. Hohanwarter adalah ketua Lembaga Pendidikan Matematika. Selama pendidikan ia mengembangkan perangkat lunak pendidikan matematika GeoGebra  dan telah memenangkan berbagai penghargaan software di Eropa dan Amerika Serikat.

Menurut Hohanwarter (dalam buku Syahbana, 2016 : 2), GeoGebra  adalah program komputer untuk membelajarkan matematika khususnya geometri dan aljabar.

Menurut Syahbana (2016 : 2), menyebutkan beberapa manfaat dalam pembelajaran matematika sebagai berikut:

• Dapat menghasilkan lukisan-lukisan geometri dengan cepat dan teliti, bahkan yang rumit. 
• Adanya fasilitas animasi dan gerakan-gerakan manipulasi yang dapat memberikan pengalaman visual dalam memahami konsep geometri.
• Dapat dimanfaatkan sebagai bahan balikan/evaluasi untuk memastikan bahwa lukisan geometri yang telah dibuat memang benar.
• Mempermudah untuk menyelidiki atau menunjukkan sifat-sifat yang berlaku pada suatu objek geometri.

GeoGebra  terus mengalami pengembangan. Penemu dan perancanganya terus berusaha memperbaiki dan menambahi kekurangan dari program GeoGebra  ini. Pada saat ini telah muncul GeoGebra  5 sebagai perbaikan dari GeoGebra  4.4. Dimana keunggulan pada GeoGebra  5 ini telah dapat dijumpai gambar dalam bentuk 3 dimensi.

1.  Teori Pembelajaran Program Linier.

Sebelum mempelajari Program Linier, terlebih dahulu kita harus menguasai teori Persamaan Garis Lurus, Menggambar Garis dan Perpotongan garis serta menggambarkannya. Mari kita pahami satu persatu teori tersebut.

a.   Persamaan Garis Lurus.

Seperti kita ketahui, persamaan garis lurus dapat dibentuk dari data-data sebagai berikut :

• Melalui dua titik yang berbeda yaitu kita misalkan melalui titik A(x₁,y₁) dan titik B(x₂,y₂), maka persamaan garis lurus tersebut adalah 
  
  
  
• Melalui sebuah titik A (x₁,y₁) dengan gradien m, persamaan garis lurusnya adalah :     y-y₁ = m(x-x₁)

• Melalui sebuah titik A (x₁,y₁) dengan sudut α terhadap sumbu x+,sehingga dengan mengingat bahwa m = tangens sudut garis dengan sumbu x+, maka m = tangens α, maka persamaan garis lurus yang terjadi adalah : y-y₁ = m(x-x₁), atau  m = tangens α (x-x₁

a.  Menggambar Garis

Bentuk umum garis yang diperoleh dan lazim dituliskan adalah : ax + by = c, atau y = mx + c. Dari kedua persamaan tersebut Langkah yang harus ditempuh dalam menggambarkannya adalah menentukan minimal 2 titik yang dilalui. Biasanya agar dapat mempermudah perhitungannya ditetapkan dengan cara mencari titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y.

Proses perhitungannya dapat dibuat pada tabel sebagai berikut :

Tabel 1 : Menggambar garis lurus

 

b.  Perpotongan Garis

Seperti telah diketahui pada saat membahas Gradien dan Persamaan Garis Lurus tentang perpotongan 2 buah garis atau lebih, perpotongan garis dapat ditentukan dengan cara :

• Metode grafik, jika persamaan garis tersebut mempunyai terhingga penyelesaian, maka hasil penyelesaian adalah koordinat dari perpotongan dari kedua garis atau lebih dari persamaan tesebut.
• Metode Substitusi, dengan cara mendefinisikan salah satupeubahyang ada dalam salah satu persamaan garis kemudain menggatipeubahyang telah telah didefinnisikan tersebut pada persamaan garis yang lainnya.
• Metode gabungan eliminasi dan substitusi dengan cara menggabukan melakukan eliminasi terlebih dahulu, kemuadian melanjutkan dengan melakukan substitusi atau sebaliknya. 
• Metode determinan matriks yaitu dengan menggunakan rumus determinan matriks untuk menentukan nilai dari peubah masing-masing persamaan garis, dalam hal ini umumnya dalam bentuk peubah  x, y dan z.

Ingat bahwa x = Dx/D , y = Dy/D dan z = Dz/D

• D  adalah determinan Matrik Koefisien persamaan linier.
• Dx  adalah determinan Matrik Koefisien persamaan linier dimana koefisien x digantikan dengan hasil.
• Dy  adalah determinan Matrik Koefisien persamaan linier dimana koefisien y digantikan dengan hasil.
• Dz  adalah determinan Matrik Koefisien persamaan linier dimana koefisien z digantikan dengan hasil.

Catatan:

Penyelesaian tiga peubah adalah dengan mengubah bentuk system penyelesaian  tiga peubah menjadi bentuk dua peubah melalui eliminasi salah satu peubahlalu di lanjutkan dengan substitusi dua peubah pada sitim penyelesaian dua peubah yang dihasilkan ke salah satu persamaan linear tiga peubah.

 

 

2.   Program Linier

a.    Menyelesaikan masalah program linear

Program linear adalah suatu metode yang digunakan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan optimasi linear (nilai maksimum dan nilai minimum dari fumgsi sasaran atau garis selidik). Program linear tidak lepas dengan sistem pertidaksamaan linear, dimana pada pembelajaran sebelumnya sudah dijelaskan tentang garis lurus. Khususnya pada tingkat sekolah menengah, sistem pertidaksamaan linear yang dimaksud adalah sistem pertidaksamaan linear terbatas pada dua variabel.

b.    Daerah himpunan penyelesaikan program linear sangat terkait dengan kemampuan melakukan sketsa daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan. Berikut ini adalah teknik menentukan daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier sebagai berikut :

1.     Buat sumbu koordinat kartesius pada kertas kerja.

2.    Gambarkan garis-garis yang menjadi pembatas pada pertidaksamaan linier.

3.    Tentukan daerah penyelesaian dengan memilih satu titik uji yang berada di luar garis.

4.    Substitusikan pada pertidaksamaan pembatas.

5.    Tentukan daerah penyelesaian  pertidaksamaan pembatas.

6.    Jika pertidaksamaan lebih dari satu, maka yang menjadi daerah penyelesaian adalah daerah irisan.

c.     Nilai optimasi dari fungsi sasaran atau garis selidik.

Umumnya nilai optimum dari fungsi sasaran atau garis selidik terjadi pada titik-titik sudut penyelesaian dari program linier tersebut. Koordinat titik-titik sudut ini disubstitusikan ke persamaan fungsi sasaran atau garis selidik. Titik-titik sudut daerah penyelesaian tersebut sering disebut dengan vertex.

 

3.   GeoGebra.

Dalam mengoperasikan GeoGebra, silahkan aktifkan Programnya, dan setelah aktif, mari kita coba pada kasus.

Misalnya  Kasus pada produksi Mabel.

PT. ROSUHMADEAR MEBEL membuat dua jenis produk yaitu meja dan kursi, yang harus diproses melalui perakitan dan finishing. Waktu yang dibutuhkan dalam  merakit  memiliki 60 jam kerja sedangkan waktu yang dibutuhkan dalam  finishing  hanya 48 jam kerja. Untuk menghasilkan satu meja dibutuhkan 4 jam kerja perakitan dan 2 jam finishing, sedangkan untuk menghasilkan satu kursi dibutuhkan 2 jam kerja perakitan dan 4 jam finishing. Jika laba tiap meja Rp 80.000.- dan laba tiap kursi Rp 60.000.-  maka tentukanlah kombinasi terbaik dari meja dan kursi yang harus diproduksi dan dijual oleh PT. ROSUHMADEAR MEBEL guna mencapai laba maksimum.

	Waktu yang dibutuhkan untuk 1 unit produk		Total Waktu yang tersedia (jam)
	Meja	Kursi
Perakitan	4	2	60
Finishing	2	4	48
Laba /unit	Rp. 80.000,-	Rp.60.000.-
Misalkan diproduksi	x (unit meja)	y (unit kursi)	Funsi sasaran : F = 80.000x + 60.000y

Tabel 2 : Pemodelan Matematika dari soal cerita

 

Dengan teori program linier diperoleh lah pertidaksamaan :

4x + 2y ≤ 60

2x + 4y ≤ 48

x≥0 dan y ≥ 0

Funsi laba : F = 80.000x + 60.000y.

Dengan secara manual dan klasik, maka dibutuhkan cara kerja yang sedikit lebih rumit dimana kita harus menggambarkan daerah-daerah penyelesaian dengan warna yang berbeda-beda. Hal ini yang merumitkan perhitungan karena terbatasnya warna yang dimiliki alat tulis manual.

 Dengan menggunakan Progran GeoGebra:

Gambar 1. Penyelesaian dengan GeoGebra untuk Program Linier

 

Dengan menggunakan GeoGebra, diperoleh titik sudut penyelesaian atau dikenal dengan titik vertex, yaitu :

O(0,0), A( 15,0), B(12,6) dan C(0,12)

 

Ttitik	Hasil Produksi		F = 80.000x + 60.000y (Rp)	Ket
	Meja (x unit)	Kursi (y unit)
O(0,0)	0	0	0
A(15,0)	15	0	1.200.000,-
B(12,6)	12	6	1.320.000.-	Maksimum untuk : 12 unit meja dan 6 unit kursi
C(0,12)	0	12	72.000.-

Tabel 3 : Pemodelan Matematika dari soal cerita dengan Nilai Optimal Fungsi sasaran

 

4.   Kesimpulan dan Saran

a.   Kesimpulan

Dari ke dua penjelasan di atas, GeoGebra lebih efisien dan lebih baik dan lebih efisien digunakan untuk menjelaskan daerah penyelesaian  setelah peserta didik memperoleh pemahaman teori tentang program linier dan optimasi fungsi sasaran.

Untuk dapat menggunakan GeoGebra dalam menyelesaikan Program Linier, peserta didik harus tetap menuasai konsep dan prinsip perhitungan manual, sehingga GeoGebra hanya bersifat membantu dan mempercepat pekerjaan saja.

b.   Saran

Perlu ditindaklanjuti untuk melakukan kajian dan penelitian lebih mendalam tentang efektifitas alat bantu ini  di SMP, SMA maupun SMK.

Daftar Pustaka

Aplikasi-Aplikasi Atau Software-Software Pembelajaran Matematika Berbasis It Baik Secara Online Maupun Offline, Widyainti, 4 Agustsu 2020 (https://widyantiwdy.wordpress.com/2019/02/06/aplikasi-aplikasi-atau-software-software-pembelajaran-matematika-berbasis-it-baik-secara-online-maupun-offline/)

Analisa Perbandingan Pembelajaran Matematika Metode Klasikal Dengan Alat Bantu Geogebra, Sopou Ni Parbitik, 4 Agustus 2020  (https://sopouniparbitik.blogspot.com/2020/05/analisa-perbandingan-pembelajaran.html)

Kusuma, Anggun Badu Dan Astri Utami. 2017. Penggunaan Program GeoGebra  Dan Casyopee Dalam Pembelajaran Geometri Ditinjau Dari Motivasi Belajar Siswa. Yogyakarta: Jurnal Mercumatika. Vol. 1, No. 2:  122.

Maarif, Samsul. 2013. Aplikasi Software Cabri Geometri Pada Materi Geometri Sebagai Upaya Mengeksplorasi Kemampauan Matematis.Jakarta: Prosiding Seminar Nasiona Matematika Dan Pendidikan Matematika STKIP Siliwangi. Vol. 1. 266-269.

Putra, Rizki Wahyu Yunian & Rully Anggraini. 2016. Pengembangan Bahan Ajar Materi Trigonometri Berbantuan Software iMindMap Pada Siswa SMA Lampung: Jurnal Pendidikan Matematika. Vol. 7,   No. 1: 41.

Qodariyah, Erwin  & Agung Deddiliawan Ismai.2012.  Pembelajaran  Kalkulus Dengan Bantuan Maple. Malang: Jurnal Humanity. Vol. 8, No. 1: 147.

Rosiyanti, Hastri. 2016. Penggunaan Software Lindo Dengan Metode Pembelajaran Penemuan Terbimbing Untuk Meningkatkan Motivasi Belajar Mahasiswa Matematika Angkatan 2013 Pada Mata Kuliah  Program Linier. Jakarta: Jurnal Pendidikan Matematika & Matematika. Vol. 2, No. 2: 21-22

Saragih, Sahat & Vira Afriati. 2012. Peningkatan Pemahaman Konsep Grafik Fungsi Trigonometri Siswa SMK Melalui Penemuan Terbimbing  Berbantuan Software Autograph. Medan: Jurnal Pendidikan Dan  Kebudayaan, Vol. 18, No. 4: 374.

Sianipar, RH. 2015. Pemograman Matlab. Yogyakarta: CV. ANDI OFFSET.

Siregar , Salamat. 2013. Meningkatkan Pemahaman Dan Hasil Belajar Siswa Pada Mata Pelajaran Matematika Dengan Menggunakan  Software Graphmatica. Padang:  Edumatica. Vol. 03 No. 01: 58.

Software Matematika yang wajib dikuasai oleh guru di abad 21, Edumatik, 4 Agustus 2020, (https://edumatik.net/software-matematika-yang-wajib-guru-kuasai-di-abad-21/)

Umbara, Uba &Inri Rahmawati. 2018. Pembelajaran Matematika Berbantuan Software Algebator Untuk Meningkatkan Kemampuan Pemahaman Matematis Siswa. Kuningan: Jurnal Elemen. Vol. 4,     No.1: 12-13

Yuliana, Nelly. 2015. Casyopee Dalam Pembelajaran Matematika.Bangka Tengah: Indonesian Digital Journal Of Mathematics And Education. Vol. 2, No. 3: 166-170.